Testek a Térben Felületek, Hálók, Térfogat

A testek a tér háromdimenziós egységei, melyeket felületek határolnak. Ezek a felületek élekben találkoznak, az élek pedig csúcsokban metszik egymást. A testeket háló segítségével is leírhatjuk, ami a test lapjait síkban kiterítve adja meg.

A testek főbb jellemzői:

• Felület: A test határoló lapjainak összterülete. Jele: A. Mértékegysége a négyzetméter (m²).
• Térfogat: A test belsejében lévő térfogat. Jele: V. Mértékegysége a köbméter (m³).

Az egyenes hasáb:

Az egyenes hasáb olyan test, amelynek két alaplapja egymással párhuzamos és egybevágó sokszög (ezeket nevezzük alaplapoknak), a többi lapja pedig téglalap (ezeket nevezzük oldallapoknak).

Az egyenes hasáb tulajdonságai:

• Annyi oldallapja van, ahány oldalú az alaplap.
• Az alaplapot határoló élek az alapélek, a többi él az oldalél.
• Az oldalélek egyenlő hosszúságúak és merőlegesek az alapra.
• Az alaplapok távolsága a testmagasság.
• Az oldalélek a testmagassággal egyenlő hosszúságúak.
• Az oldallapok összességét palástnak nevezzük.
• Palást területe: Palást = Alaplap területe * testmagasság
• Teljes felület: A = 2 * Alaplap területe + Palást területe
• Térfogat: V = Alaplap területe * testmagasság

Egyenes hasáb testhálója

Kocka:

• Hatoldalú szabályos test: A kockát hat egybevágó négyzetlap határolja.
• 12 egyenlő él: A kocka minden éle egyenlő hosszúságú.
• 8 csúcs: A kocka 8 csúcsban találkoznak az élei.
• Felület: A kocka teljes felülete a hat oldallap területének összege: A = 6 * a², ahol „a” az élek hosszát jelöli.
• Térfogat: A kocka térfogata az élek hosszának köbe: V = a³.

kocka testhálója

Téglatest:

• Téglalap alapú hasáb: A téglatest alaplapjai téglalapok, oldallapjai pedig téglalapok vagy négyzetek.
• 6 lap: A téglatestnek 6 lapja van, melyek közül a szemközti lapok egybevágóak.
• 12 él: A téglatestnek 12 éle van, melyek közül 4-4 egyenlő hosszúságú.
• 8 csúcs: A téglatestnek 8 csúcsa van.
• Felület: A téglatest teljes felülete az oldallapjai és az alaplapjai területének összege: A = 2 * (ab + ac + bc), ahol „a”, „b” és „c” a téglatest különböző éleinek hosszát jelöli.
• Térfogat: A téglatest térfogata az alaplapjának területét és magasságát szorozva adja: V = abc, ahol „a”, „b” és „c” a téglatest különböző éleinek hosszát jelöli.

téglatest testhálója

Négyzetes oszlop:

• Négyzetes alapú hasáb: A négyzetes oszlop alaplapja négyzet, oldallapjai pedig téglalapok.
• Oldallapjai egybevágó téglalapok: A négyzetes oszlop oldallapjai egybevágó téglalapok.
• Felület: A négyzetes oszlop teljes felülete az alaplapjának területét az oldallapjai területével összegezve adja: A = 2 * a² + 4 * ab, ahol „a” az alaplap oldalhossza, „b” pedig az oldallap magassága.
• Térfogat: A négyzetes oszlop térfogata az alaplapjának területét és magasságát szorozva adja: V = a² * b, ahol „a” az alaplap oldalhossza, „b” pedig az oldallap magassága.

Egyenes körhenger:

• Hengerfelület és két körlap: Az egyenes körhenger egy hengerfelületből és két egybevágó körlapból (alaplapok) áll.
• Merőleges alkotók: A hengerfelületet alkotó egyenesek (alkotók) merőlegesek az alaplapokra.
• Magasság: A két alaplap távolsága a henger magassága.
• Felület: A henger teljes felülete az alaplapok területének összege és a palást területének összege: A = 2πr² + 2πrh, ahol „r” az alapkör sugara, „h” pedig a henger magassága.
• Térfogat: A henger térfogata az alapkör területét és a magasságot szorozva adja: V = πr²h, ahol „r” az alapkör sugara, „h” pedig a henger magassága.

Egyenes körhenger testhálója

Gúla:

• Sokszög alap és háromszög oldallapok: A gúlát egy sokszög (alaplap) és annyi háromszög (oldallapok) határolja, ahány oldalú a sokszög.
• Alapélek és oldalélek: Az alaplapot határoló élek az alapélek, a többi él az oldalél.
• Csúcspont: Az oldalélek egy pontban találkoznak, ez a gúla csúcspontja.
• Palást: Az oldallapok alkotják a palástot.
• Magasság: A gúla magassága a csúcspont és az alaplap távolsága, azaz a csúcspontból az alaplapra bocsátott merőleges szakasz.
• Szabályos gúla: Ha az alaplap szabályos sokszög, és a magasság talppontja az alaplap középpontjában van, akkor a gúlát szabályos gúlának nevezzük.
• Tetraéder: A háromoldalú szabályos gúla (4 db szabályos háromszög határolja) a tetraéder (4 oldalú szabályos test).
• Felület: A gúla teljes felülete az alaplap területének és a palást területének összege: A = Talap + Tpalást
• Térfogat: A gúla térfogata az alaplap területének és a magasságnak harmada: V = Talap * M / 3, ahol „Talap” az alaplap területe, „M” pedig a gúla magassága.

Gúla testátlója

Gömb:

• Gömbfelület: A gömböt egy gömbfelület határolja.
• Középpont és sugár: A gömbnek van egy középpontja („O”) és egy sugara („r”), ami a középpont és a gömb bármely pontja közötti távolság.
• Felület: A gömb teljes felülete a gömbfelület területének négyszerese: A = 4πr², ahol „r” a gömb sugara.
• Térfogat: A gömb térfogata a gömbfelület területének a harmada és a sugár négyzete: V = (4/3)πr³, ahol „r” a gömb sugara.